Теория вероятностей и статистика: Наука неопределённости: Количественная оценка неопределённости: Функция случайной величины

В этом разделе мы переходим от качественного описания исходов к строгой количественной модели. Случайную величину мы определяем не как «переменную» в алгебраическом смысле, а как детерминированное отображение — функцию, которая преобразует элементы пространства исходов в числовую прямую.

Функциональное определение (Определение 2.1.1)

Случайная величина $X$ — это функция $X: S \to R^1$, которая каждому возможному исходу $s$ из пространства исходов $S$ сопоставляет действительное число $X(s)$. Обратитесь к рисунку 2.1.1 для наглядного представления этого процесса.

Функция индикатора ($I_A$)

Чтобы соединить теорию множеств и арифметику, мы определяем функцию индикатора события $A$:

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

Это преобразует наступление события в двоичный числовой сигнал.

Определение распределений (Определение 2.2.1)

«распределение» величины $X$ — это совокупность вероятностей $P(X \in B)$ для подмножеств $B \subseteq R^1$. Строго говоря, требуется, чтобы $B$ было боро́левским подмножеством, что является техническим ограничением из теории меры. Однако любое множество, которое мы можем практически определить, является борелевским подмножеством.

Пределы и непрерывность вероятности

Чтобы гарантировать, что наши функции будут вести себя предсказуемо в бесконечных контекстах, мы опираемся на аксиомы, установленные в теоремах 1.3.4 и 1.6.1:

Счётная аддитивность (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, где $B_n$ — непересекающиеся версии $A_n$.
Непрерывность вероятности (1.7.2): Если последовательность событий $\{A_n\} \nearrow A$, то $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.

Доказательство теоремы 1.3.4

Мы хотим доказать, что для любой последовательности событий $A_1, A_2, \dots$ (не обязательно непересекающихся):

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

Это известно как неравенство Буля и имеет фундаментальное значение при оценке вероятностей в сложных системах.

🎯 Исторический контекст

Термин «случайная величина» был выбран вместо «вероятностная переменная» Джо Дуб и Уильям Феллер в результате жеребьёвки в начале 1950-х годов. Хотя технически это функция, название «переменная» сохранилось как историческая дань этому знаменитому жребию.

ВОПРОС 1

Пусть $S = {1, 2, 3, \dots}$, и пусть $X(s) = s^2$, $Y(s) = 1/s$ для $s \in S$. Существуют ли эти величины как случайные величины?

Да, потому что они являются функциями, отображающими каждое $s$ в действительное число.

Нет, потому что $S$ — бесконечное множество.

Только $X$ существует; $Y$ — дробь, следовательно, не является переменной.

Никакая из них не существует, потому что их области значений не являются борелевскими множествами.

ВОПРОС 2

Рассмотрим бросание одного правильного шестигранного кубика ($S = {1,2,3,4,5,6}$). Пусть $X(s) = s$. Пусть $Y = X^2$. Чему равно $P(Y \le 10)$?

$1/2$

$1/6$

$3/6$

$10/36$

ВОПРОС 3

Какой математик выиграл жеребьёвку, определившую название «Случайная величина» вместо «Вероятностная переменная»?

Джо Дуб и Уильям Феллер (выиграла «Случайная величина»)

Колмогоров (выиграла «Стохастическая переменная»)

Томас Байес (выиграла «Априорная переменная»)

Пьер-Симон Лаплас (выиграла «Вероятностная переменная»)

ВОПРОС 4

Какова основная роль функции индикатора $I_A$?

Выступать в роли моста между теорией множеств (событиями) и арифметикой.

Доказывать, что множество является борелевским.

Вычислять производную распределения.

Определять, является ли пространство исходов дискретным.

ВОПРОС 5

Согласно теореме 1.6.1 (непрерывность вероятности), если у нас есть последовательность событий, где $A_n \nearrow A$, что можно сказать о пределе?

lim P(A_n) = P(A)

lim P(A_n) = 1

P(A) должно быть 0

Предел не существует для неограниченных переменных.

Вызов: Продвинутые преобразования переменных и моделирование

Количественная оценка дискретной и сложной неопределённости

В этом вызове мы исследуем переход от простых бросков кубиков к сложным совместным распределениям и методам отбора по отклонению. Предположим, что мы работаем в рамках обобщённого гипергеометрического распределения и методов инверсии/отклонения для моделирования.

Вопрос 1

Рассмотрим бросание двух правильных шестигранных кубиков. Пусть $Y$ — сумма выпавших чисел. Определите пространство исходов $S$ и задайте функцию вероятности для $Y$.

Решение: $S$ состоит из 36 упорядоченных пар $(d_1, d_2)$. $Y$ отображает их в диапазон $\{2, 3, ..., 12\}$. Функция вероятности $P(Y=y)$ равна:
P(2)=1/36, P(3)=2/36, P(4)=3/36, P(5)=4/36, P(6)=5/36, P(7)=6/36, P(8)=5/36, P(9)=4/36, P(10)=3/36, P(11)=2/36, P(12)=1/36.

Вопрос 2

2.3.29: Множество содержит $N$ объектов. $M_1$ помечены как 1, $M_2$ — как 2, остальные — как 3. Если мы выбираем $n$ объектов без замены, определите вероятность получения частот $(f_1, f_2, f_3)$.

Решение: Это следует из обобщённой формулы гипергеометрического распределения:
$$P(f_1, f_2, f_3) = \frac{\binom{M_1}{f_1}\binom{M_2}{f_2}\binom{N-M_1-M_2}{f_3}}{\binom{N}{n}}$$
где $f_1 + f_2 + f_3 = n$.

Вопрос 3

2.10.21 (Выборка по отклонению): Дано сложная плотность $f$ и более простая плотность $g$, при условии $f(x) \le cg(x)$, докажите, что $P(a \le Y \le b | f(Y) \ge Ucg(Y)) = \int_a^b f(x) dx$.

Доказательство: Пусть $E$ — событие $U \le f(Y)/(cg(Y))$.
По определению условной вероятности: $P(a \le Y \le b | E) = \frac{P(a \le Y \le b, E)}{P(E)}$.
Числитель равен $\int_a^b \int_0^{f(y)/cg(y)} \frac{1}{c} g(y) du dy = \frac{1}{c} \int_a^b f(y) dy$.
Знаменатель $P(E) = 1/c$. Следовательно, выражение упрощается до $\int_a^b f(y) dy$.